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前回の続き。
今週は石版週間と位置づけ、僕が飽きるまで
石版の記事を書いていく。
今回は、石版に宝珠をハメる組み合わせを
洗い出すための考え方を書きます。
ツイッターやブログなどで、○○型の石版だと
xxx種類の宝珠の組み合わせがあるんだぜー
って書かれてますが、そもそも、この数値は
どうやって計算しているのか。気になりますよね。
(気にならない?気になるよね!)
今回は計算方法(というかアプローチ)について
触れようと思います。
なお、3玉宝珠を前提とします。
宝珠がハマる場所を洗い出す
まず、ハメ方の組み合わせを考える前に、
石版上に宝珠がどのようにハマるのかを
考える必要があります。
石版に宝珠を一つだけ配置するとして、
その配置場所を数値で表してみると
考えやすい。
宝珠の組み合わせを考える前に、
配置場所の組み合わせを考えるって
ことです。
石版は 3 × 3 の正方形で、ドラクエでは
これを4つ使いますので、全体としては
6 × 6 の盤面になります。
計算しやすくするため、石版に番号を付して
6種類の宝珠(L字4種類、I字2種類)の置き方を
数字で表します。
例えば、以下のように宝珠を置く場合。
[0, 1, 6] というように表現します。
(以降、これを『アドレス』と言いますね。)
以下の場合だと、アドレスは [0, 1, 7] ですね。
こんな感じで、6種類の宝珠すべてに対して
取りうるアドレスを全部洗い出すと、以下に
示すように148通りあります。
[0, 1, 6][0, 1, 7][0, 6, 7][1, 6, 7][6, 7, 12][6, 7, 13][6, 12, 13][7, 12, 13][12, 13, 18][12, 13, 19][12, 18, 19][13, 18, 19][18, 19, 24][18, 19, 25][18, 24, 25][19, 24, 25][24, 25, 30][24, 25, 31][24, 30, 31][25, 30, 31][1, 2, 7][1, 2, 8][1, 7, 8][2, 7, 8][7, 8, 13][7, 8, 14][7, 13, 14][8, 13, 14][13, 14, 19][13, 14, 20][13, 19, 20][14, 19, 20][19, 20, 25][19, 20, 26][19, 25, 26][20, 25, 26][25, 26, 31][25, 26, 32][25, 31, 32][26, 31, 32][2, 3, 8][2, 3, 9][2, 8, 9][3, 8, 9][8, 9, 14][8, 9, 15][8, 14, 15][9, 14, 15][14, 15, 20][14, 15, 21][14, 20, 21][15, 20, 21][20, 21, 26][20, 21, 27][20, 26, 27][21, 26, 27][26, 27, 32][26, 27, 33][26, 32, 33][27, 32, 33][3, 4, 9][3, 4, 10][3, 9, 10][4, 9, 10][9, 10, 15][9, 10, 16][9, 15, 16][10, 15, 16][15, 16, 21][15, 16, 22][15, 21, 22][16, 21, 22][21, 22, 27][21, 22, 28][21, 27, 28][22, 27, 28][27, 28, 33][27, 28, 34][27, 33, 34][28, 33, 34][4, 5, 10][4, 5, 11][4, 10, 11][5, 10, 11][10, 11, 16][10, 11, 17][10, 16, 17][11, 16, 17][16, 17, 22][16, 17, 23][16, 22, 23][17, 22, 23][22, 23, 28][22, 23, 29][22, 28, 29][23, 28, 29][28, 29, 34][28, 29, 35][28, 34, 35][29, 34, 35][0, 6, 12][6, 12, 18][12, 18, 24][18, 24, 30][1, 7, 13][7, 13, 19][13, 19, 25][19, 25, 31][2, 8, 14][8, 14, 20][14, 20, 26][20, 26, 32][3, 9, 15][9, 15, 21][15, 21, 27][21, 27, 33][4, 10, 16][10, 16, 22][16, 22, 28][22, 28, 34][5, 11, 17][11, 17, 23][17, 23, 29][23, 29, 35][0, 1, 2][6, 7, 8][12, 13, 14][18, 19, 20][24, 25, 26][30, 31, 32][1, 2, 3][7, 8, 9][13, 14, 15][19, 20, 21][25, 26, 27][31, 32, 33][2, 3, 4][8, 9, 10][14, 15, 16][20, 21, 22][26, 27, 28][32, 33, 34][3, 4, 5][9, 10, 11][15, 16, 17][21, 22, 23][27, 28, 29][33, 34, 35]
穴が開いていない番号を除外
当然、宝珠は穴が開いていないところには
置けませんので、上で洗い出したアドレスの
中から、穴が開いていない番号を含むものを
除外していきます。
ツボ型の石版を例にして考えます。
(穴が開いていない箇所をグレーにしてます。)
穴が開いていない番号は、16個あり、
列挙すると 0, 1, 4, 5, 6, 11, 12, 17,
18, 23, 24, 29, 30, 31, 34, 35。
先ほど洗い出したアドレスの中から、これらの
番号を含むものをすべて除外すると、以下に
示す68通りになります。
要するに、 6 × 6 の石版に存在する
「穴が開いている番号」の集合の部分集合に
該当するアドレスだけを抽出するってことですね。
番号を含むものをすべて除外すると、以下に
示す68通りになります。
[2, 7, 8][7, 8, 13][7, 8, 14][7, 13, 14][8, 13, 14][13, 14, 19][13, 14, 20][13, 19, 20][14, 19, 20][19, 20, 25][19, 20, 26][19, 25, 26][20, 25, 26][25, 26, 32][2, 3, 8][2, 3, 9][2, 8, 9][3, 8, 9][8, 9, 14][8, 9, 15][8, 14, 15][9, 14, 15][14, 15, 20][14, 15, 21][14, 20, 21][15, 20, 21][20, 21, 26][20, 21, 27][20, 26, 27][21, 26, 27][26, 27, 32][26, 27, 33][26, 32, 33][27, 32, 33][3, 9, 10][9, 10, 15][9, 10, 16][9, 15, 16][10, 15, 16][15, 16, 21][15, 16, 22][15, 21, 22][16, 21, 22][21, 22, 27][21, 22, 28][21, 27, 28][22, 27, 28][27, 28, 33][7, 13, 19][13, 19, 25][2, 8, 14][8, 14, 20][14, 20, 26][20, 26, 32][3, 9, 15][9, 15, 21][15, 21, 27][21, 27, 33][10, 16, 22][16, 22, 28][7, 8, 9][13, 14, 15][19, 20, 21][25, 26, 27][8, 9, 10][14, 15, 16][20, 21, 22][26, 27, 28]
要するに、 6 × 6 の石版に存在する
「穴が開いている番号」の集合の部分集合に
該当するアドレスだけを抽出するってことですね。
この図だと、A・B・Cの集合を残し、D・Eに相当する
集合を削除するイメージです。
組み合わせを考える
ここまでくれば、あとは簡単ですよね。
宝珠は6個ハマりますので、洗い出した
アドレスの中から任意の6個を選ぶ
組み合わせの総数を計算すればいいだけ。
ただし、中学校で習った『異なるn個のもの
からr個を選ぶ組み合わせの総数(nCr)』
を使うことはできません。
組み合わせることができないものを
除外する必要があるからです。
からr個を選ぶ組み合わせの総数(nCr)』
を使うことはできません。
組み合わせることができないものを
除外する必要があるからです。
例えば、以下2つのアドレスの組みわせは、
7、8番が重複するので、選べませんよね。
7、8番が重複するので、選べませんよね。
こういう組み合わせが起きないように、
アドレスを取り出す際には、同じ番号を
含まないように考慮する必要があります。
計算過程は省略しますが、
(エクセルで頑張れば導き出せます)
ツボ型だと、番号が重複しないように6個の
アドレスを取り出す組み合わせの総数は
1944通りになります。
答えに辿りつくには、もうワンステップの
計算を挟む必要があります。
上記「1944通り」という数値が表しているのは、
宝珠の置き方の組み合わせ数であり、宝珠の
形の組み合わせ数ではありません。
どういうことかと言うと、以下の2つの絵を
見れば一目瞭然。黄色部分に着目。
「1944通り」には、こういうケースが
重複してカウントされていますので、
最後にこの重複を除く計算が必要です。
計算過程は省略。
(これもエクセルで頑張ればいけます。
例えば、アドレスを宝珠の形に変換して
形に応じたIDを付し、IDの組み合わせの
重複を除いていくアプローチで。)
その結果、宝珠の組み合わせ総数は
280通りと結論づけられるわけです。
(ツボ型の場合。念のため。)
組み合わせ
前回も少し触れましたが、組み合わせの総数が
多ければ多いほど理想的な石版なのかと言うと、
そうではありません。
持ってる宝珠の形、自分がハメたい宝珠の形を
考慮する必要があります。
下表は、323種類の組み合わせ総数を持つ
トーチカ型を詳しく分析したものです。
323通りの各々の組み合わせにおいて、
各種類の宝珠が何回使われているかを
まとめました。
わかりにくいと思いますので補足します。
表の赤丸部分を見てください。
この部分は、縦3玉宝珠を6個使う組み合わせの
数を示しています。
直感的にわかると思いますが、最大6個の
宝珠がハマる石版に、同じ形の宝珠を
6個ハメるのは1通りしかありえません。
同様に、ツボ型の石版の分析結果。
で、トーチカ型とツボ型の数値を差分比較してみます。
黄色部分は、トーチカ型よりもツボ型のほうが
組み合わせ数が多くなる場合です。
例えば、横3玉宝珠を一つも持っていない人は
トーチカ型よりも、ツボ型のほうが20通りも
多くなります。
理想的には、石版を作るときに、または
5つ目の穴を開けるときに、自分が使いたい
宝珠の形や、今後の拡張性を踏まえて
最適な形を割り出せればいいですよね。
今回紹介したアプローチでコツコツ計算すれば
最適解が見えてくると思います。ぶっちゃけ、
何も考えずに石版を作り、それに合う宝珠を
取りに行く方が楽ですけどね。
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